El método de Gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para resolver sistemas
de ecuaciones lineales. El método se llama así en
honor a los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es similar al método de Jacobi.
A continuación se presenta la información mas relevante sobre los
personajes que aportaron conocimientos al método.
Johann Carl Friedrich
Gauss (30 de
abril de 1777, Brunswick - 23 de
febrero de 1855, Göttingen),
fue un matemático, astrónomo, geodésico,
y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos
campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría
diferencial, la estadística, el álgebra, la geodesia,
el magnetismo y la óptica. Considerado «el príncipe de las
matemáticas» y «el matemático más grande desde la antigüedad», Gauss ha tenido
una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia,
y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la
Historia.
Philipp Ludwig Ritter
von Seidel (*24 de
octubre de 1821, Dos Puentes, Alemania – 13 de
agosto de 1896, Múnich) fue
un astrónomo, óptico y matemático alemán. Conocido simplemente por Ludwig
Seidel.
Por las grandes contribuciones
de Seidel en los campos a los que se dedicó,
en 1970 la Unión Astronómica Internacional (UAI) decidió en
su honor llamarle «Seidel» a un astroblema lunar.
Después de anunciar
acontecimientos relevantes de los autores de este método, procederemos ahora si
a definir y en que consiste el método de resolución de ecuaciones de
Gauss-Seidel:
El método de Gauss-Seidel es muy semejante al método
de Jacobi. Mientras que en el de Jacobi se utiliza el valor de las incógnitas
para determinar una nueva aproximación, en el de Gauss-Seidel se va utilizando
los valores de las incógnitas recién calculados en la misma iteración, y no en
la siguiente.
La secuencia de pasos
que constituyen el método de Gauss-Seidel es la siguiente:
1. Asignar un valor inicial a cada incógnita que aparezca
en el conjunto. Si es posible hacer una hipótesis razonable de éstos valores,
hacerla. Si no, se pueden asignar valores seleccionados arbitrariamente.
Los valores iniciales utilizados no afectarán la convergencia como tal, pero
afectarán el número de iteraciones requeridas para dicha convergencia.
2. Partiendo de la primera ecuación, determinar un nuevo
valor para la incógnita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación,
utilizando para las otras incógnitas los valores supuestos.
3. Pasar a la segunda ecuación y determinar en ella el
valor de la incógnita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación,
utilizando el valor calculado para la incógnita del paso 2 y los valores
supuestos para las incógnitas restantes.
4. Continuar con las ecuaciones restantes, determinando
siempre el valor calculado de la incógnita que tiene el coeficiente más grande
en cada ecuación particular, y utilizando siempre los últimos valores
calculados para las otras incógnitas de la
ecuación. (Durante la primera iteración, se deben utilizar los valores
supuestos para las incógnitas hasta que se obtenga un valor calculado). Cuando
la ecuación final ha sido resuelta, proporcionando un valor para la única
incógnita, se dice que se ha completado una iteración.
5.
Continuar
iterando hasta que el valor de cada incógnita, determinado en una iteración
particular, difiera del valor obtenido en la iteración previa, en una cantidad
menor que cierto seleccionado
arbitrariamente. El procedimiento queda entonces completo.
Después de revisar la
teoría y el ejemplo aun se tienen dudas, se puede consultar el siguiente video
en donde se explica con mayor detalle el método para resolver las dudas por
completo.
Fuentes de Información
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